自分の環境だと、（WordPress+）cocoonのサイドバーの「カスタムHTML」が、JavaScriptを入れたときに保存できませんでした。
代案（テキスト）で対応しました。
まず、AdSenseの申請が通っていることが条件です。
環境はこちら。
- WordPress 5.3.2
- テーマ名：Cocoon 2.0.5
- 子テーマ名：Cocoon Child 1.1.0
参考にさせていただいたサイトはこちら。
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【ワードプレス】コクーンに設置した、カスタム検索のデザインを調整しました | 放浪ジャーナル
ボクのブログでは、Google AdSense（グーグル・アドセンス）の広告の設置しています。今回は、WordPress（ワードプレス）のテーマ「Cocoon（コクーン）」で、 Googleカスタム検 ...
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AdSense（アドセンス）の検索向け広告をサイドバーに設定
サイドバーに検索向け広告を追加する設定をします。
まず、「外観 - ウィジェット」にはいります。
「テキスト」を選択し、「ウィジェットを追加」をクリックします。
ここで、AdSenseのカスタム検索のコードを取得します。
コード取得してJavascriptのコードをコピーしたら、
WordPressに戻ってきて、テキストのタブに切り替えて、ここに貼り付けます。
AdSense（アドセンス）の検索向け広告をカスタマイズ
ちなみに、CSSでの検索窓のカスタムはこちらで行うことができます。
「プラグイン - テーマエディター」にはいります。
子テーマのスタイルにはいり、CSSをいれます。
AdSense（アドセンス）の検索向け広告のまとめ
下図のようにブログ内検索をGoogleカスタム検索に変えることが出来ました。
カスタムHTMLじゃないと追加出来ないと思っていたので、これで解決することが出来ました。
おわりっ！
